【世界のパラドックス】誕生日のパラドックス ─ 23人いれば同じ誕生日が重なる確率50%超

当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「誕生日のパラドックス」について解説します。

1年は365日あります。そうすると、同じ誕生日の人に出会うのは結構珍しいことのように思えますが、実際には、たった23人の集団で、同じ誕生日の人が少なくとも1組いる確率が50%を超えます。70人集まれば99.9%以上です。

この数字を聞いて「少なすぎない？」と感じた方が多いのではないでしょうか。その違和感こそが、このパラドックスの核心です。

なぜ23人で50%なのか

多くの人がこの問題で引っかかるのは、「自分と同じ誕生日の人がいる確率」と「誰か同士で同じ誕生日のペアがいる確率」を混同しているからです。

自分と同じ誕生日の人が23人の中にいる確率は確かに低い（約6%）です。しかし、この問題は「誰でもいいから同じ誕生日のペアが1組でもある確率」を求めています。

23人の集団では、2人の組み合わせの数は 23 × 22 ÷ 2 ＝ 253通りです。253通りもの組み合わせの中で、少なくとも1組が同じ誕生日である確率を求めているのではないでしょうか。

こう考えると、50%を超えることがそれほど不思議ではなくなってきませんか？

具体的に計算してみる

「同じ誕生日のペアがいる確率」を直接求めるのは大変なので、「全員の誕生日がバラバラである確率」を先に求めて、1から引きます。

1人目は何月何日生まれでも構いません。確率は 365/365 です。

2人目が1人目と違う誕生日である確率は 364/365 です。

3人目が最初の2人と違う誕生日である確率は 363/365 です。

これを23人目まで続けると…

全員がバラバラの確率 ＝ 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 0.4927

言ってしまえば、全員がバラバラの確率が約49.3%。誰かとかぶる確率は 1 − 0.4927 ＝ 約50.7%です。

50人になるとかぶる確率は97%、70人で99.9%を超えます。

現実の誕生日は均等ではない

ここまでの計算は「365日に均等に生まれる」という前提で進めてきました。実際はそうではありません。

日本でも各国でも、出生数には季節や曜日による偏りがあります。

・季節の偏り：夏から秋にかけて多く、冬から春にかけて少ない傾向がある ・曜日の偏り：計画的な出産の影響で、土日の出生が平日より少ない ・特定日の偏り：縁起を担ぐ日や避けられる日で数が動く ・2月29日：4年に1度しかないため極端に少ない

では偏りがあると、23人で50%という結果は崩れるのでしょうか。

答えは逆で、偏りがあるほど一致する確率は上がります。人気のある日に生まれた人どうしが重なりやすくなるためです。

数学的にも、均等分布のときに一致確率が最小になることが証明されています。つまり23人で50%というのは最も一致しにくい条件での値であり、現実の分布ではそれ以上になります。

実際の偏りはそれほど大きくないので、必要人数が23人から22人に変わる程度です。前提を現実的にしても結論は揺らがないことが確認されている、という点が重要だと思います。

理想化した前提で計算したあと、それを崩したときに結果がどちらへ動くかを確かめる。この手順を踏んでおくと、モデルの結論をどこまで信用してよいかが分かるようになります。

直感が裏切られる理由

人間は「ペアの数」の増え方を直感的に過小評価しがちです。

人数が1人増えると、新しくできるペアの数はそれまでの全員分です。23人目が加わると、22個の新しいペアが生まれます。このように、ペアの数は人数の二乗に比例して爆発的に増えるため、意外と少ない人数で確率が急上昇します。

これは日常生活でも当てはまる感覚です。10人の会議で「誰か2人が偶然同じ趣味だった」ということは珍しくありませんが、それは10人の中に45通りの組み合わせがあるからです。

実際に検証されている

誕生日のパラドックスは理論だけでなく、実際のデータでも確認されています。

例えば、サッカーワールドカップの試合に出場する選手のリスト（1チーム23人）を調べると、約半分のチームで同じ誕生日の選手が見つかります。理論通りです。

学校のクラス（30〜40人）であれば、同じ誕生日のクラスメートがいる確率は70〜90%にもなります。思い返してみると、同級生に同じ誕生日の人がいた経験がある方も多いのではないでしょうか。

人数を変えるとどう変わるか

23人という数字だけが独り歩きしがちですが、前後の動きを見ておくと感覚が掴めます。

人数別の確率

40人程度の教室なら9割方どこかに同じ誕生日の組がいることになります。学校のクラスで実際に試すと、たいてい見つかるはずです。

70人を超えると事実上確実になり、366人でようやく100%に到達します。ここから先の伸びは非常に緩やかです。

「自分と同じ」を探すと話が変わる

同じ問題に見えて、まったく違う数字になる問い方があります。

「部屋の中に自分と同じ誕生日の人がいる確率」を50%にするには、何人必要でしょうか。答えは253人です。23人とは桁が違います。

・誰かと誰かの組：23人なら組み合わせは253通りある ・自分と誰かの組：23人でも自分が関わる組は22通りしかない

比べる組の数が10倍以上違うので、必要な人数も大きく変わります。「同じ誕生日の人がいる」という言い方が、自分を基準にしているのか全員を対象にしているのかで、答えが一桁変わってしまうことになります。

直感が裏切られる原因は、多くの場合ここにあります。人数が23人と聞くと23通りを想像しますが、実際に照合されているのは253通りです。数えているのは人ではなく組み合わせだという一点を押さえると、驚きはかなり収まります。

セキュリティへの応用

誕生日のパラドックスは暗号学やセキュリティの分野にも顔を出します。「誕生日攻撃」と呼ばれる攻撃手法は、このパラドックスを応用したものです。

ハッシュ関数の出力が n ビットの場合、異なる入力から同じハッシュ値が出てくる（衝突する）までに必要な試行回数は、直感的には 2^n 回に思えますが、実際には約 2^(n/2) 回で済みます。これは誕生日のパラドックスと同じ原理で、暗号の安全性を評価する際に無視できない要素です。

教室で試すときの注意

実際にクラスで試すと、思ったほどうまくいかないことがあります。理由はいくつかあります。

・人数が足りない：23人で50%なので、半分の確率で見つからない ・双子がいる：同じ誕生日が確実に存在してしまい、確率の話にならない ・年齢が揃っている：同学年だと生まれ月に偏りが出て、一致しやすくなる ・本人が気づかない：全員に言わせないと、当人どうしが知らないまま終わる

確実に成功させたいなら、40人前後の集団で試すのがよいと思います。9割の確率で見つかります。

逆に「自分と同じ誕生日の人」を探すのは避けた方が無難です。253人必要なので、学年集会の規模でも半々にしかなりません。

見つからなかったときこそ説明の好機でもあります。23人で5割ということは、2回に1回は空振りするのが正しい姿だからです。

人数ではなく組の数を数えると腑に落ちるはずで、私はこの問題を、直感が組み合わせの数を過小に見積もることの分かりやすい例だと考えています。

確率の直感を裏切る関連パラドックス

誕生日のパラドックスと同じく、確率の見積もりが直感とずれる関連パラドックスです。

まとめ

本記事は「誕生日のパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。

このパラドックスは厳密には矛盾ではなく、人間の確率に対する直感がいかに不正確であるかを示す好例です。組み合わせの数が急速に増えるという事実を直感的に把握するのは、人間にとって本当に難しいことなのだと思い知らされます。

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それでは次の記事も閲覧いただけると幸いです。

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