当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「誕生日のパラドックス」について解説します。
1年は365日あります。そうすると、同じ誕生日の人に出会うのは結構珍しいことのように思えます。しかし実際には、たった23人の集団で、同じ誕生日の人が少なくとも1組いる確率が50%を超えます。70人集まれば99.9%以上です。
この数字を聞いて「少なすぎない？」と感じた方が多いのではないでしょうか。その違和感こそが、このパラドックスの核心です。
なぜ23人で50%なのか
多くの人がこの問題で引っかかるのは、「自分と同じ誕生日の人がいる確率」と「誰か同士で同じ誕生日のペアがいる確率」を混同しているからです。
自分と同じ誕生日の人が23人の中にいる確率は確かに低い（約6%）です。しかし、この問題は「誰でもいいから同じ誕生日のペアが1組でもある確率」を求めています。
23人の集団では、2人の組み合わせの数は 23 × 22 ÷ 2 ＝ 253通りです。253通りもの組み合わせの中で、少なくとも1組が同じ誕生日である確率を求めているのです。
こう考えると、50%を超えることがそれほど不思議ではなくなってきませんか？
具体的に計算してみる
「同じ誕生日のペアがいる確率」を直接求めるのは大変なので、「全員の誕生日がバラバラである確率」を先に求めて、1から引きます。
1人目は何月何日生まれでも構いません。確率は 365/365 です。
2人目が1人目と違う誕生日である確率は 364/365 です。
3人目が最初の2人と違う誕生日である確率は 363/365 です。
これを23人目まで続けると…
全員がバラバラの確率 ＝ 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 0.4927
つまり、全員がバラバラの確率が約49.3%。誰かとかぶる確率は 1 − 0.4927 ＝ 約50.7%です。
50人になるとかぶる確率は97%、70人で99.9%を超えます。
直感が裏切られる理由
人間は「ペアの数」の増え方を直感的に過小評価しがちです。
人数が1人増えると、新しくできるペアの数はそれまでの全員分です。23人目が加わると、22個の新しいペアが生まれます。このように、ペアの数は人数の二乗に比例して爆発的に増えるため、意外と少ない人数で確率が急上昇するのです。
これは日常生活でも当てはまる感覚です。10人の会議で「誰か2人が偶然同じ趣味だった」ということは珍しくありませんが、それは10人の中に45通りの組み合わせがあるからです。
実際に検証されている
誕生日のパラドックスは理論だけでなく、実際のデータでも確認されています。
例えば、サッカーワールドカップの試合に出場する選手のリスト（1チーム23人）を調べると、約半分のチームで同じ誕生日の選手が見つかります。理論通りです。
学校のクラス（30〜40人）であれば、同じ誕生日のクラスメートがいる確率は70〜90%にもなります。思い返してみると、同級生に同じ誕生日の人がいた経験がある方も多いのではないでしょうか。
セキュリティへの応用
誕生日のパラドックスは暗号学やセキュリティの分野でも重要です。「誕生日攻撃」と呼ばれる攻撃手法は、このパラドックスを応用したものです。
ハッシュ関数の出力が n ビットの場合、異なる入力から同じハッシュ値が出てくる（衝突する）までに必要な試行回数は、直感的には 2^n 回に思えますが、実際には約 2^(n/2) 回で済みます。これは誕生日のパラドックスと同じ原理で、暗号の安全性を評価する際に無視できない要素です。
まとめ
本記事は「誕生日のパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。
このパラドックスは厳密には矛盾ではなく、人間の確率に対する直感がいかに不正確であるかを示す好例です。組み合わせの数が急速に増えるという事実を直感的に把握するのは、人間にとって本当に難しいことなのだと思い知らされます。
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