【世界のパラドックス】モンティ・ホール問題 ─ ドアを変えた方が当たる確率が2倍になる

当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「モンティ・ホール問題」について解説します。

この問題はアメリカのテレビ番組に由来するもので、発表された当時は数学者やノーベル賞受賞者までもが間違った回答をして大論争になったという、確率論の歴史に残る有名なパラドックスです。

モンティ・ホール問題の設定

ゲームのルールは次の通りです。

目の前に3つのドア（A、B、C）があります。1つのドアの後ろには新車（当たり）が、残り2つのドアの後ろにはヤギ（ハズレ）がいます。

挑戦者はドアを1つ選びます。仮にドアAを選んだとしましょう。

ここで司会者のモンティ・ホールが登場します。モンティは全てのドアの中身を知っているので、挑戦者が選んでいないドアの中から「必ずヤギがいるドア」を1つ開けます。仮にドアCを開けて、ヤギを見せたとします。

ここでモンティは挑戦者に聞きます。「選択を変更しますか？ ドアAのままにしますか、それともドアBに変えますか？」

さて、変更すべきでしょうか？

多くの人の直感

ほとんどの人は「変更しても変わらない。残りのドアが2つなのだから、確率は50%対50%だ」と考えます。

ただ、これは間違いです。

正解は「変更した方がよい」です。変更すると当たる確率は2/3、変更しなければ1/3です。変更した方が当たる確率が2倍になるのだと思います。

なぜ2/3なのか

最もシンプルな説明はこうです。

最初にドアを選んだ時点で、当たっている確率は1/3、外れている確率は2/3です。

モンティがハズレのドアを開けますが、この行為は「最初の選択が正しかった確率」を変えません。挑戦者が選んだドアが当たりである確率は依然として1/3です。

残りの2つのドアに当たりがある確率は2/3でしたが、モンティがその中から1つのハズレを開けてくれたので、2/3の確率がもう1つの開けられていないドアに集中します。

だから変更すれば2/3で当たるのです。

全パターンを書き出す

まだ納得できない方のために、全てのパターンを書き出してみましょう。挑戦者が最初にドアAを選んだとします。

3つのパターンのうち、変更しないで当たるのは1つ、変更して当たるのは2つです。変更した方が2倍有利であることが一目瞭然です。

大論争

このパラドックスが世間を騒がせたのは1990年のことです。コラムニストのマリリン・ボス・サバントが雑誌のコラムで「変更すべき」と正解を書いたところ、読者から約1万通もの抗議の手紙が届きました。

その中には数学者やPhD保持者からの批判も多数含まれていました。「あなたの回答は間違っている」「確率は明らかに50%対50%だ」と。

ただ、コンピュータシミュレーションで何万回も実験した結果、変更した方が確かに約2/3の確率で当たることが確認され、サバントの回答が正しかったことが証明されました。

正解を知っても変更したくない心理

面白いことに、2/3が正しいと理解した後でも、変更をためらう人は少なくありません。確率とは別の要因が働いています。

・後悔の非対称：変更して外したときの後悔が、変更せず外したときより大きく感じられる ・保有効果：一度自分が選んだものに愛着が生まれ、手放しにくくなる ・行動バイアス：何もしないで失敗する方が、行動して失敗するより受け入れやすい ・単発の勝負：確率は繰り返して初めて効く。1回きりなら2/3でも外れるときは外れる

4つめは特に無視できません。1回だけの挑戦では、正しく変更しても3回に1回は外れます。そのとき本人には、変更しなければ当たっていたという事実だけが残ります。

期待値の上では明らかに有利な選択が、経験としては裏目に出ることがある。これは投資や医療の意思決定でも起きることで、「正しい判断」と「良い結果」は別物だという教訓につながります。

ハトを使った実験では、繰り返し試行のなかで変更する頻度が高まっていったという報告もあります。理屈ではなく経験から学ぶなら、正解にたどり着けるということになります。人間が苦戦するのは、1回の経験から一般化しようとするからなのかもしれません。

なぜ直感が間違うのか

人間がこの問題で間違える最大の理由は、「モンティの行動が新しい情報をもたらしている」ことを見落とすからです。

モンティは「必ずハズレのドアを開ける」というルールに従っています。彼はランダムにドアを開けているわけではありません。もし挑戦者の選択がハズレなら（確率2/3）、モンティは残りの1つのハズレしか開けられません。つまり、モンティの行動が「もう1つのドアに当たりがある」という情報を間接的に教えてくれているのではないでしょうか。

もしモンティが当たりのドアの中身を知らずにランダムに開けて、たまたまハズレだった場合は、確率は本当に50%対50%になります。モンティが中身を知っているかどうかで結論が変わるというのも、この問題の面白いところです。

ドアを100枚にすると一目で分かる

理屈で納得できない場合に、いちばん効く説明があります。ドアの数を増やしてしまう方法です。

100枚のドアのうち1枚だけが当たりだとします。挑戦者が1枚選んだあと、司会者は残り99枚のうち98枚を開けてすべてハズレを見せます。残るのは、最初に選んだ1枚と、司会者が開けずに残した1枚です。

ここで変更すべきかと問われれば、答えは明白だと思います。最初に選んだドアが当たりである確率は100分の1のままで、残された1枚に99分の98以上の重みが集まっているように思います。

・最初の1枚：100枚から当てずっぽうで選んだもの。確率1% ・残された1枚：中身を知る司会者が98枚を除外したうえで残したもの。確率99%

3枚の場合も構造は同じで、比率が1/3対2/3になるだけです。「司会者が知ったうえで選んで開けている」という点が効いていることが、枚数を増やすとはっきり見えてきます。

司会者の振る舞いで確率が変わる

もうひとつ押さえておきたいのは、この問題の答えが司会者の規則に依存することです。

2行目で分かれます。司会者が中身を知らずに開けて偶然ハズレだった場合、確率は本当に半々になります。よく言われる「50%対50%だ」という反論は、この状況でなら正しいという形になります。

3行目と4行目は、司会者が挑戦者を誘導したり救ったりする場合です。「悪魔のモンティ」と呼ばれる設定では、当たりを選んだ挑戦者にだけ変更の機会を与えるため、変更すると必ず外れます。

なので、この問題は、確率の計算である以上に相手の行動規則を読む問題でした。1990年の大論争で意見が割れた一因も、問題文が司会者の規則をはっきり書いていなかったことにあります。

番組では実際どうだったのか

意外に知られていないのですが、実在の番組『Let’s Make a Deal』でこのルールが常に適用されていたわけではありません。

司会者モンティ・ホール本人が後年、新聞の取材にこう答えています。挑戦者が最初に選んだドアの中身によって、別のドアを開けるかどうか、現金を提示するかどうかをその場で判断していたと。

番組では、司会者が必ずハズレのドアを開けるという保証はありませんでした。挑戦者が当たりを引いたときだけ揺さぶりをかけることもできたことになります。

・数学の問題としてのモンティ・ホール：規則が固定されているので答えは2/3 ・番組としてのモンティ・ホール：司会者の裁量が入るので確率は定まらない

同じ名前で呼ばれている2つは、実は別物だということになります。

ホール本人は取材に対し、自分は数学者ではないが、挑戦者の心理を読むのが仕事だったという趣旨を述べています。確率の教材として有名になった問題の元が、実は読み合いのゲームだったというのは面白い話だと思います。

直感が外れる理由が「司会者が答えを知っている」という一点に集約されるところが、私はこの問題のよくできた部分だと思っています。

確率の直感を裏切る関連パラドックス

モンティ・ホール問題と同じく条件付き確率の直感を裏切る関連パラドックスです。

まとめ

本記事は「モンティ・ホール問題」について解説しました。如何だったでしょうか。

数学者すら間違えたこのパラドックスは、人間の確率に対する直感がいかに脆いかを象徴的に示しています。答えを知った今でも何となく納得しきれない感じがする方もいるかもしれませんが、それこそがこの問題の面白さです。

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