【世界のパラドックス】モンティ・ホール問題 ─ ドアを変えた方が当たる確率が2倍になる

当サイトを閲覧いただきありがとうございます。本記事は「モンティ・ホール問題」について解説します。

この問題はアメリカのテレビ番組に由来するもので、発表された当時は数学者やノーベル賞受賞者までもが間違った回答をして大論争になったという、確率論の歴史に残る有名なパラドックスです。

世界の不思議と謎について知っておくべき100のことAmazonで見る →

モンティ・ホール問題の設定

ゲームのルールは次の通りです。

目の前に3つのドア（A、B、C）があります。1つのドアの後ろには新車（当たり）が、残り2つのドアの後ろにはヤギ（ハズレ）がいます。

あなたはドアを1つ選びます。仮にドアAを選んだとしましょう。

ここで司会者のモンティ・ホールが登場します。モンティは全てのドアの中身を知っているので、あなたが選んでいないドアの中から「必ずヤギがいるドア」を1つ開けます。仮にドアCを開けて、ヤギを見せたとします。

ここでモンティはあなたに聞きます。「選択を変更しますか？ドアAのままにしますか、それともドアBに変えますか？」

さて、変更すべきでしょうか？

多くの人の直感

ほとんどの人は「変更しても変わらない。残りのドアが2つなのだから、確率は50%対50%だ」と考えます。

しかし、これは間違いです。

正解は「変更した方がよい」です。変更すると当たる確率は2/3、変更しなければ1/3です。変更した方が当たる確率が2倍になるのです。

なぜ2/3なのか

最もシンプルな説明はこうです。

最初にドアを選んだ時点で、当たっている確率は1/3、外れている確率は2/3です。

モンティがハズレのドアを開けますが、この行為は「あなたの最初の選択が正しかった確率」を変えません。あなたの選んだドアが当たりである確率は依然として1/3です。

残りの2つのドアに当たりがある確率は2/3でしたが、モンティがその中から1つのハズレを開けてくれたので、2/3の確率がもう1つの開けられていないドアに集中します。

だから変更すれば2/3で当たるのです。

全パターンを書き出す

まだ納得できない方のために、全てのパターンを書き出してみましょう。あなたが最初にドアAを選んだとします。

当たりの位置	モンティが開けるドア	変更しない結果	変更した結果
ドアA	BかC	当たり	ハズレ
ドアB	ドアC	ハズレ	当たり
ドアC	ドアB	ハズレ	当たり

3つのパターンのうち、変更しないで当たるのは1つ、変更して当たるのは2つです。変更した方が2倍有利であることが一目瞭然です。

大論争

このパラドックスが世間を騒がせたのは1990年のことです。コラムニストのマリリン・ボス・サバントが雑誌のコラムで「変更すべき」と正解を書いたところ、読者から約1万通もの抗議の手紙が届きました。

その中には数学者やPhD保持者からの批判も多数含まれていました。「あなたの回答は間違っている」「確率は明らかに50%対50%だ」と。

しかし、コンピュータシミュレーションで何万回も実験した結果、変更した方が確かに約2/3の確率で当たることが確認され、サバントの回答が正しかったことが証明されました。

なぜ直感が間違うのか

人間がこの問題で間違える最大の理由は、「モンティの行動が新しい情報をもたらしている」ことを見落とすからです。

モンティは「必ずハズレのドアを開ける」というルールに従っています。彼はランダムにドアを開けているわけではありません。もしあなたの選択がハズレなら（確率2/3）、モンティは残りの1つのハズレしか開けられません。つまり、モンティの行動が「もう1つのドアに当たりがある」という情報を間接的に教えてくれているのです。

もしモンティが当たりのドアの中身を知らずにランダムに開けて、たまたまハズレだった場合は、確率は本当に50%対50%になります。モンティが中身を知っているかどうかで結論が変わるというのも、この問題の面白いところです。