当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「三囚人問題」について解説します。
モンティ・ホール問題と本質的に同じ構造を持つこのパラドックスは、日本でも古くから知られており、条件付き確率の直感と計算のズレを鮮やかに示してくれます。
問題の設定
3人の囚人A、B、Cが死刑を宣告されています。しかし、ランダムに選ばれた1人だけが恩赦で釈放されることが決まりました。誰が釈放されるかはまだ囚人たちには知らされていません。
囚人Aは看守に頼みます。「BとCのうち、処刑される方の名前を1人だけ教えてくれないか。3人のうち少なくとも1人は処刑されるのだから、この情報を教えても問題ないだろう？」
看守は「Bが処刑される」と答えました。
ここで囚人Aは考えます。「最初、自分が助かる確率は1/3だった。でもBが処刑されると分かった以上、助かるのは自分かCのどちらかだ。ということは、自分が助かる確率は1/2に上がったのではないか？」
果たしてAの推論は正しいでしょうか？
直感と実際の答え
Aの推論は間違いです。
看守の情報を聞いた後でも、Aが助かる確率は「1/3のまま」です。一方、Cが助かる確率は2/3に上がっています。
「えっ、なぜAとCの確率が違うの？」と思われるかもしれません。これがこのパラドックスの面白いところです。
なぜ1/3のままなのか
全てのケースを書き出して確認してみましょう。恩赦を受ける人が誰かによって3つのケースがあります。
ケース1：Aが恩赦（確率1/3） 看守はBかCのどちらかを答えます。「Bが処刑される」と答える確率は1/2です。
ケース2：Bが恩赦（確率1/3） 看守は「Cが処刑される」と答えます。「Bが処刑される」とは答えません（Bは恩赦なので）。
ケース3：Cが恩赦（確率1/3） 看守は「Bが処刑される」と答えます（Bは処刑されるので）。
看守が「Bが処刑される」と答えるケースはケース1（確率1/3 × 1/2 = 1/6）とケース3（確率1/3 × 1 = 1/3）です。
看守が「Bが処刑される」と答えた条件の下で、Aが恩赦である確率は (1/6) ÷ (1/6 + 1/3) = (1/6) ÷ (1/2) = 1/3 です。
同じ条件でCが恩赦である確率は (1/3) ÷ (1/2) = 2/3 です。
モンティ・ホール問題との関係
お気づきかもしれませんが、これはモンティ・ホール問題と完全に同じ構造です。
- 3つのドア → 3人の囚人
- 当たりのドア → 恩赦を受ける囚人
- あなたの選択 → 囚人A自身
- モンティがハズレを開ける → 看守が処刑される人を教える
モンティ・ホール問題では「ドアを変更すべき」が正解でしたが、三囚人問題では「AよりCの方が助かる確率が高い」ということになります。
看守はAに対して「BかCのうち処刑される方」を教えただけです。この情報はAの確率には影響しませんが、残ったCの確率には影響します。情報が非対称に作用するのがポイントです。
囚人Aが間違える理由
Aが陥った誤りは、「候補が3人から2人に減った→確率が1/2になった」という推論です。
候補が減ること自体は確率を変える場合もありますが、今回は「看守がどの名前を言うか」がランダムではない点が重要です。看守は恩赦の人の名前は絶対に言わないので、看守の発言は恩赦が誰かによって偏っています。
この偏りを無視して単純に「2人だから1/2」と考えてしまうのが、直感的な誤りの正体です。
確率の直感を裏切る関連パラドックス
三囚人問題と同じく条件付き確率の直感を裏切る関連パラドックスです。
まとめ
本記事は「三囚人問題」について解説しました。如何だったでしょうか。
条件付き確率は本当に直感を裏切ってくれます。情報を得たからといって確率が対称的に変わるとは限らないというのは、統計を扱う上で非常に重要な教訓です。
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