【世界のパラドックス】三囚人問題 ─ 仲間の運命を聞いても自分の確率は変わらない？

当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「三囚人問題」について解説します。

モンティ・ホール問題と本質的に同じ構造を持つこのパラドックスは、日本でも古くから知られており、条件付き確率の直感と計算のズレを鮮やかに示してくれます。

3人の囚人と看守の問答

3人の囚人A、B、Cが死刑を宣告されていますが、ランダムに選ばれた1人だけが恩赦で釈放されることが決まりました。誰が釈放されるかはまだ囚人たちには知らされていません。

囚人Aは看守に頼みます。「BとCのうち、処刑される方の名前を1人だけ教えてくれないか。3人のうち少なくとも1人は処刑されるのだから、この情報を教えても問題ないだろう？」

看守は「Bが処刑される」と答えました。

ここで囚人Aは考えます。「最初、自分が助かる確率は1/3だった。でもBが処刑されると分かった以上、助かるのは自分かCのどちらかだ。ということは、自分が助かる確率は1/2に上がったのではないか？」

果たしてAの推論は正しいでしょうか？

直感と実際の答え

Aの推論は間違いです。

看守の情報を聞いた後でも、Aが助かる確率は「1/3のまま」ですが、一方で、Cが助かる確率は2/3に上がっています。

「えっ、なぜAとCの確率が違うの？」と思われるかもしれません。これがこのパラドックスの面白いところになっています。

なぜ1/3のままなのか

全てのケースを書き出して確認してみましょう。恩赦を受ける人が誰かによって3つのケースがあります。

ケース1：Aが恩赦（確率1/3） 看守はBかCのどちらかを答えます。「Bが処刑される」と答える確率は1/2です。

ケース2：Bが恩赦（確率1/3） 看守は「Cが処刑される」と答えます。「Bが処刑される」とは答えません（Bは恩赦なので）。

ケース3：Cが恩赦（確率1/3） 看守は「Bが処刑される」と答えます（Bは処刑されるので）。

看守が「Bが処刑される」と答えるケースはケース1（確率1/3 × 1/2 = 1/6）とケース3（確率1/3 × 1 = 1/3）です。

看守が「Bが処刑される」と答えた条件の下で、Aが恩赦である確率は (1/6) ÷ (1/6 + 1/3) = (1/6) ÷ (1/2) = 1/3 です。

同じ条件でCが恩赦である確率は (1/3) ÷ (1/2) = 2/3 です。

モンティ・ホール問題との関係

お気づきかもしれませんが、これはモンティ・ホール問題と完全に同じ構造です。

• 3つのドア → 3人の囚人
• 当たりのドア → 恩赦を受ける囚人
• 自分の選択 → 囚人A自身
• モンティがハズレを開ける → 看守が処刑される人を教える

モンティ・ホール問題では「ドアを変更すべき」が正解でしたが、三囚人問題では「AよりCの方が助かる確率が高い」ということになるのだと思います。

看守はAに対して「BかCのうち処刑される方」を教えただけです。この情報はAの確率には影響しませんが、残ったCの確率には影響します。情報が非対称に作用するのがポイントです。

【世界のパラドックス】モンティ・ホール問題 ─ ドアを変えた方が当たる確率が2倍になるsenkohome.com/paradox-monty-hall/

手を動かして確かめる方法

議論だけでは腑に落ちにくいので、実際に試せる形にしておきます。

トランプを3枚用意し、うち1枚に印を付けて伏せます。印の付いたカードが恩赦です。1枚を自分の分として選び、残り2枚のうち印の付いていないカードを1枚めくります。両方とも印なしなら、どちらをめくるか無作為に決めます。

これを繰り返して、自分のカードに印が付いていた回数を数えます。3回に1回程度にしかなりません。めくらずに残ったもう1枚に印がある回数は、その倍になります。

数十回も試せば傾向がはっきり出るので、理屈を追うより早く納得できると思います。

なぜ多くの人が1/2と答えるのか

人が誤る背景には、いくつかの傾向が指摘されています。

・等確率バイアス：選択肢が2つ残ると、根拠なく半々だと感じてしまう ・情報の起点を忘れる：最初に3分の1で選んだという事実が、途中で意識から外れる ・証言の選ばれ方を見ない：看守が何を答えられて何を答えられないかを考慮しない ・問題文の省略：看守がどんな規則で答えるかが書かれていないことに気づかない

とくに1つめは根深く、残った選択肢の数だけで確率を判断してしまう癖として、さまざまな場面で観察されています。

宝くじの当選確率を「当たるか外れるかの2通りだから半々」と考える人はいませんが、選択肢が3つから2つに減る場面では同じ誤りが起きやすくなります。減ったという変化に気を取られて、元の比率が保たれていることを見落とすためです。

囚人Aが間違える理由

Aが陥った誤りは、「候補が3人から2人に減った→確率が1/2になった」という推論です。

候補が減ること自体は確率を変える場合もありますが、今回は「看守がどの名前を言うか」がランダムではない点が大きく効いてきます。看守は恩赦の人の名前は絶対に言わないので、看守の発言は恩赦が誰かによって偏っています。

この偏りを無視して単純に「2人だから1/2」と考えてしまうのが、直感的な誤りの正体です。

ベイズの定理で確かめる

直感の言い合いでは決着しないので、条件付き確率の計算に持ち込みます。

看守の証言がどれくらい起こりやすいか

看守が「Bは処刑される」と答える場面が、誰が助かる世界でどれくらい起きるかを並べます。

「Bと答える」という証言が起きる確率は、1/6と1/3を足して1/2です。

そのうち囚人Aが助かる場合が占める割合は、1/6を1/2で割って1/3。囚人Cが助かる場合は1/3を1/2で割って2/3になります。

鍵になるのは3行目です。Cが助かる世界では、看守は必ずBの名を挙げるしかありません。この「選択の余地がない」状況が、Cの側に確率を集めています。

看守の答え方が変わると確率も変わる

さらに面白いのは、看守の振る舞いを変えると答えが変わることです。

仮に看守が「BとCの両方が処刑されるときは、必ずBと答える」という癖を持っていたとします。

このとき「Bは処刑される」と聞いても、Aが助かる場合とCが助かる場合の両方でBと答えるので、区別がつきません。計算するとAが助かる確率は1/2に上がります。

逆にこの看守が「Cは処刑される」と答えたなら、それはBが助かる世界でしか起こりません。Aの生存確率は0に落ちます。

同じ言葉を聞いても、相手がどういう規則で喋っているかによって、得られる情報の量がまるで違うという話になります。

証言そのものではなく、証言が選ばれた過程を見なければならない。これは裁判での証言や、企業が発表する数字を読むときにもそのまま当てはまる考え方だと思います。

名前と歴史

この問題は1959年、数学パズルの紹介者として知られるマーティン・ガードナーが『Scientific American』のコラムで取り上げたことで広まりました。

ガードナー自身はこれを「三人の囚人問題」として紹介し、当時から読者の抗議を数多く受けたと記録しています。31年後にモンティ・ホール問題で同じ騒動が繰り返されたことを考えると、人間の直感がいかに頑固かがよく分かります。

なおガードナーは、さらに古い形として1889年のベルトランによる「三つの箱の問題」を挙げています。金貨2枚、銀貨2枚、金銀1枚ずつを入れた3つの箱から1枚取り出して金貨だった場合、もう1枚も金貨である確率は2/3になるというものだと思います。

構造は同じで、130年以上にわたって形を変えながら人を惑わせ続けている問題だということになりそうです。

看守が答えを選べるかどうかで確率が変わるという点は、私には情報の価値そのものを示している例に見えます。

確率の直感を裏切る関連パラドックス

三囚人問題と同じく条件付き確率の直感を裏切る関連パラドックスです。

まとめ

本記事は「三囚人問題」について解説しました。如何だったでしょうか。

条件付き確率は本当に直感を裏切ってくれます。情報を得たからといって確率が対称的に変わるとは限らないというのは、統計を扱う上で非常に重要な教訓です。

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