当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「サンクトペテルブルクのパラドックス」について解説します。
あるゲームの期待値が数学的に無限大だとしたら、参加費としていくらまで払いますか？ 1万円？ 100万円？ 1億円？ 理論上は「いくら払っても損しない」はずなのに、実際にはほとんどの人が数百円から数千円程度しか払いたくないと感じます。この直感と理論のズレが、1713年に提唱されて以来300年以上も議論されてきたパラドックスの核心です。
ゲームのルール
ルールは非常にシンプルです。
コインを投げて、初めて表が出たらゲーム終了。賞金は「何回目に表が出たか」で決まります。
- 1回目に表 → 賞金 2円
- 2回目に表 → 賞金 4円
- 3回目に表 → 賞金 8円
- 4回目に表 → 賞金 16円
- n回目に表 → 賞金 2^n 円
表が出るのが遅いほど賞金が倍々に増えていく仕組みです。
期待値を計算してみる
期待値とは、ゲームを何度も繰り返したときの平均的な収益です。
- 1回目で表が出る確率は1/2、賞金は2円 → 寄与: 1/2 × 2 = 1円
- 2回目で初めて表が出る確率は1/4、賞金は4円 → 寄与: 1/4 × 4 = 1円
- 3回目で初めて表が出る確率は1/8、賞金は8円 → 寄与: 1/8 × 8 = 1円
- …
各ステップの期待値への寄与は全て1円です。これが無限に続くので、期待値 = 1 + 1 + 1 + 1 + … = 無限大です。
期待値が無限大ということは、理論上、参加費が100万円だろうが1億円だろうが、「長い目で見れば得をする」ということになります。しかし、実際にこのゲームに1億円の参加費を払う人はまずいないでしょう。
なぜ直感は「払いたくない」と言うのか
冷静に考えると、その理由はいくつかあります。
まず、高額賞金が出る確率は極めて低いです。20回連続で裏が出る確率は約100万分の1です。つまり、100万円を超える賞金を得るには、100万回に1回レベルの幸運が必要です。
ほとんどの場合（75%の確率）、賞金は4円以下で終わります。参加費に100円払ったとしても、4回に3回は損をする計算です。
期待値が無限大なのは、「天文学的に低い確率で天文学的な賞金がもらえる可能性」が期待値を押し上げているからであり、普通の人の一生では期待値通りの結果にたどり着くことはほぼ不可能なのです。
ベルヌーイの解決策：効用理論
このパラドックスに最初に解決策を提示したのは、スイスの数学者ダニエル・ベルヌーイです（1738年、サンクトペテルブルクの科学アカデミーで発表されたことがこの名前の由来）。
ベルヌーイは、人間は「金額」そのものではなく、金額がもたらす「効用（満足度）」に基づいて判断していると主張しました。
100万円持っている人にとって、さらに100万円もらうことの嬉しさと、1億円持っている人がさらに100万円もらう嬉しさは同じではありません。お金の効用は金額の増加に対して逓減する（対数的に増える）のです。
金額の代わりに効用（例えば金額の対数）で期待値を計算すると、期待値は有限の値に収まります。これにより、参加費にも上限が生じ、パラドックスは解消されるというわけです。
現代でも議論は続く
ベルヌーイの効用理論はパラドックスの一つの回答として広く受け入れられていますが、完全な解決とは言えません。賞金を効用が逓減しない速度で増やすように修正すれば、パラドックスは復活してしまうからです。
現代の経済学や意思決定理論では、このパラドックスは「リスク回避」「有限の寿命」「限界効用逓減」など、複数の観点から議論されています。
期待値だけで意思決定を行うのは不十分であるという認識は、このパラドックスが与えた最も重要な教訓かもしれません。
まとめ
本記事は「サンクトペテルブルクのパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。
300年前に提唱されたこのパラドックスは、確率論と人間の意思決定の間にあるギャップを浮き彫りにしています。期待値が無限大でも払いたくないというのは、むしろ人間の判断の方が合理的なのかもしれません。
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