【世界のパラドックス】抜き打ちテストのパラドックス ─ 予告された抜き打ちは論理的に不可能

当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「抜き打ちテストのパラドックス（予期しない絞首刑のパラドックス）」について解説します。

先生が「来週のどこかで抜き打ちテストをやります。どの曜日にやるかは事前に分かりません」と宣言しますが、頭の良い学生が論理的に推理すると、このテストは実施不可能だという結論に至ります。しかし実際には水曜日にテストが行われ、学生はちゃんと驚く。なんとも不思議な話です。

学生の推論

学生はこう考えます。

「もし金曜日まで待ってもテストがなかったら、テストは金曜日しかありえない。そうすると木曜の夜の時点で金曜にテストがあると分かってしまう。これは『事前に分からない』という条件に反する。だから金曜日にはテストはできない」

金曜日が消えました。

「金曜日がないなら、木曜日まで待ってテストがなければ、残りは木曜日しかない。同じ理由で木曜にも実施できない」

木曜日も消えました。同じ論理を繰り返すと、水曜日、火曜日、月曜日も順番に消えます。

結論：テストはどの曜日にも実施できないので、テストは行われない。

学生は安心して勉強をしませんでした。ところが水曜日に先生がテストを行い、学生は完全に不意を突かれます。先生の予告は正しかったのです。

どこがおかしいのか

学生の推論は一見すると論理的に完璧ですが、結論は明らかに間違っています。テストは実際に行われ、学生は驚いたのですから。

このパラドックスが厄介なのは、学生の推論のどこに穴があるのかが非常に分かりにくいことです。

一つの分析は、学生の推論が「自己破壊的」であるというあたりです。学生が「テストは行われない」と結論づけた瞬間、テストが行われればそれは「予期しない」ものになります。つまり、「テストは行われない」と信じることこそが、テストを抜き打ちにしてしまいます。

言い換えると、学生の推論は「テストが予期できないこと」を前提にして「テストが予期できる（から実施されない）」と結論づけていますが、結論が前提と矛盾しているため推論の連鎖が自壊していることになるのだと思います。

元は「絞首刑」の話

このパラドックスの原型は「予期しない絞首刑」として知られています。

囚人が裁判官から「来週のどこかの日に絞首刑を執行する。どの日に執行されるかは当日の朝まで分からないだろう」と宣告されます。囚人は上記と同じ推論で「絞首刑は論理的に実行できない」と結論づけて安心しますが、水曜日に予期せず処刑されます。

この形で1940年代にスウェーデンで広まったとされ、その起源は第二次世界大戦中のスウェーデンのラジオ放送で「来週のどこかで民間防衛演習を行う。いつ行うかは事前に知らされない」と告知されたことだとも言われています。その後マーティン・ガードナーが1963年に『Scientific American』のコラムで紹介し、多くの論理学者や哲学者が取り組みました。

なぜ解決が難しいのか

このパラドックスは80年近くにわたって議論されていますが、完全に合意された解決策は存在しません。

問題の根は、「予期しない」という言葉の意味が曖昧であることにあります。「論理的に推論して分かる」のと「実際に予期する」のは同じではありませんし、学生の推論は自分の推論の結論を前提に使うという循環構造を含んでおり、ここに問題が潜んでいる可能性があります。

提案されている解決アプローチ

認識論的アプローチ：学生の推論の最初のステップ（金曜日の排除）は正しい。しかし、金曜日を排除した後の知識状態が変わっているため、次のステップ（木曜日の排除）には同じ前提が使えない。つまり、後退帰納法の連鎖が途中で崩壊するという見方です。

論理的アプローチ：先生の宣言「テストがあり、かつ予期できない」を形式化すると自己言及的な構造を持ち、ゲーデルの不完全性定理と同じくその宣言の真偽を体系内で証明できないという分析です。

実用的アプローチ：学生の誤りは、「テストが実施不可能」と結論づけてそれを信じた点にある。仮に「テストは行われない」と信じた時点で、テストが行われれば必然的に予期しないものとなり、先生の条件は満たされる。つまり、学生の推論は正しく完了するが、結論を行動に移した瞬間に自らの前提を覆すのです。

学校の先生や教授がこのパラドックスを出題して学生の反応を見るのは、哲学や論理学の授業では定番の光景だそうです。

解決案を並べて比べる

80年の議論のなかで、さまざまな診断が提出されてきました。どこに誤りを見るかで立場が分かれます。

主な立場

とくに影響が大きいのが4行目のクワインの診断です。1953年に彼が指摘したのは、学生が最初の段階ですでに誤っているという点でした。

学生は「木曜の夜まで待ってテストがなければ、金曜だと分かる」と推論しますが、これは、先生の宣言が真であることを前提にしています。

ところが実際には、先生の宣言が偽である可能性も残っています。金曜になってもテストがなかったという状況では、先生が守らなかったのかもしれないからです。

学生は自分の推論の前提として宣言の真理を使い、その推論で宣言を否定している。クワインはこの循環こそが問題だと診断しました。

実際に試すと学生は驚くのか

哲学の議論とは別に、実際に人がどう反応するかを調べた試みもあります。授業でこの宣言を行い、本当に抜き打ちテストを実施するというものだと思います。

報告されている傾向は、おおむね次のようなものでした。

・多くの学生は論理的な推論をせず、単純に毎日警戒する ・推論した学生も、実施されないという確信までは持たない ・実施されたときには、推論の有無にかかわらず驚く

現実の学生は、論理的に不可能だから勉強しないという行動を取りません。パラドックスが成立するのは、完全に論理だけで行動する存在を仮定した場合だけということになります。

この点も、クワインの診断を後押しする材料になっています。実際の人間は、宣言が偽である可能性を暗黙のうちに残しているから困らないということでしょう。

起源をめぐる説

この問題がどこから来たのかについては、いくつかの説が伝わっているように思います。

もっとも有力なのが、第二次世界大戦中のスウェーデンのラジオ放送だという説です。1943年から1944年頃、「来週のどこかで民間防衛演習を行う。実施日は事前に知らされない」という告知が流れました。

これを聞いた数学者レンナート・エクボムが、告知の論理的な奇妙さに気づいたとされています。彼が学生に話したことで広まり、やがて学界に伝わっていきました。

活字として最初に現れるのは1948年、哲学誌『Mind』に掲載されたD・J・オコナーの論文です。ここでは軍事演習の形で紹介されました。

その後、絞首刑や抜き打ちテストなど、より劇的な設定に置き換えられて広まります。1963年にマーティン・ガードナーが取り上げたことで、一般にも広く知られるようになりました。

呼び名が多いのはなぜか

この問題には、日本語だけでも複数の呼び名があります。

・抜き打ちテストのパラドックス：学生と教師の設定 ・予期しない絞首刑のパラドックス：囚人と裁判官の設定 ・予告された抜き打ち検査：軍事演習に近い設定

英語圏でも同様に複数の名前が併存しています。設定が入れ替わっても論理構造がまったく変わらないため、語り手が好きな舞台を選べるという事情があるためです。

中身が同じで見た目だけ変わるパラドックスは、伝わる過程で名前が増えていく傾向があります。ワニのパラドックスがプロタゴラスの裁判と同型であるのと似た事情で、私には妙に納得のいく話でした。

自己言及の関連パラドックス

抜き打ちテストのパラドックスと同じく自己言及的な推論が生む矛盾を扱う関連パラドックスです。

まとめ

本記事は「抜き打ちテストのパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。

論理的に不可能だと証明したはずの出来事が実際に起きてしまう。推論と現実の間にある微妙なギャップを体感できる、非常に魅力的なパラドックスです。

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それでは次の記事も閲覧いただけると幸いです。

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