【世界のパラドックス】嘘つきのパラドックス ─ 「この文は嘘である」は真か偽か？

当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「嘘つきのパラドックス」について解説します。

「この文は嘘である」、たったこの一文が、2000年以上にわたって論理学者や哲学者を困らせてきました。真でも偽でもない、あるいは真でもあり偽でもある。この奇妙な文章が突きつける問題は、論理学の基盤そのものを揺るがすほどの破壊力を持っています。

嘘つきのパラドックスとは

まず「この文は嘘である」という文を考えてみましょう。

もしこの文が真だとします。文の内容は「この文は嘘である」なので、この文は嘘ということになります。嘘であるなら、この文は偽です。真だと仮定したのに偽になってしまいました。

では、この文が偽だとします。「この文は嘘である」が偽なら、この文は嘘ではない（真ということになります）。偽だと仮定したのに真になってしまいました。

真だと仮定すると偽になり、偽だと仮定すると真になる。どちらの結論にも安定して着地できない。これが嘘つきのパラドックスになっているという感じでしょうか。

古代ギリシアの原型

このパラドックスの最も古い形は、紀元前6世紀のクレタ島の哲学者エピメニデスによるものだとされています。クレタ人であるエピメニデスが「クレタ人は皆嘘つきだ」と言ったという話です。

もしエピメニデスの発言が真なら、クレタ人は皆嘘つきなので、クレタ人であるエピメニデスも嘘つきです。すると彼の発言は嘘ということになり…。

ただ、厳密にはエピメニデス版は純粋なパラドックスにはなりません。「クレタ人は皆嘘つきだ」が偽であっても、「一部のクレタ人は正直者」という可能性があり、エピメニデスが嘘つきのクレタ人であれば矛盾なく成立するからです。

より純粋な形にしたのが「この文は偽である」という自己言及的な一文で、これはエウブリデスという古代ギリシアの哲学者が定式化したとされています。

自己言及の危険性

嘘つきのパラドックスの原因は、発言がその発言自身の真偽を参照している（真偽の自己言及）ところにあります。

普通の文、例えば「東京は日本の首都である」は、東京という外部の対象について語っています。だから真偽の判定に困ることはありません。

しかし「この文は嘘である」は、発言が自分自身の真偽について語っています。自分の真偽を判定するために自分の内容を参照し、自分の内容を理解するために自分の真偽を知る必要がある。この循環構造がパラドックスを生んでいます。

「私は嘘つきだ」もパラドックスになるのか

ここで疑問に思う方もいるかもしれません。「文でなく人が言っても同じでは？」というものです。たとえば、誰かが「私は嘘つきだ」と言った場合もパラドックスになるのでしょうか。

実はなりません。「私は嘘つきだ」は、その人の性格や習慣についての主張であって、その発言自身の真偽を参照しているわけではないからです。

・本当によく嘘をつく人が言えば → 真（矛盾なし） ・正直な人が言えば → 偽（矛盾なし）

どちらに仮定しても矛盾が生じません。「東京は日本の首都である」と同じように、外部の対象（自分の習慣）について述べているだけです。

では人が言ってパラドックスが生じるとしたら、どのような場合でしょうか。それは「私が今この瞬間に言っていることは嘘だ」と言った場合です。この発言は人が口にしていますが、この発言自身の真偽を直接参照しているため、「この文は嘘である」とまったく同じ構造になります。

なので、パラドックスの本質は「文か人か」ではなく、「その発言がそれ自身の真偽を参照しているかどうか」にあります。主語が「この文」であっても「私が今言っていること」であっても、自分自身の真偽を問題にしている限り、同じ矛盾が生じます。

現代数学への影響

嘘つきのパラドックスは単なる言葉遊びではなく、20世紀の数学と論理学に革命的な影響を与えました。

1931年にクルト・ゲーデルが発表した不完全性定理は、嘘つきのパラドックスの構造を巧みに利用しています。ゲーデルは「この命題は証明できない」という数学的命題を構成し、それによって数学には「真だが証明できない命題」が必ず存在することを示しました。

また、アラン・チューリングの停止問題も同様の自己言及構造を利用しています。「自分自身が停止するかどうかを判定するプログラム」を考えると矛盾が生じることから、あらゆるプログラムの停止判定を行う万能プログラムは存在しないことが証明されました。

このように、嘘つきのパラドックスの「自己言及による矛盾」という構造は、数学やコンピュータ科学の根幹に関わる重大な発見につながっているのです。

解決策はあるのか

嘘つきのパラドックスに対する解決策はいくつか提案されています。

バートランド・ラッセルは「階型理論」を提案し、文が自分自身について語ることを禁止するルールを設けました。文は自分より低い階層の文についてしか語れないとするものだと思います。

アルフレッド・タルスキは「真理のレベル分け」を行い、ある言語の中の文の真偽は、その言語自身では判定できず、より上位のメタ言語で判定しなければならないとしました。

より最近では、ソール・クリプキが1975年に提唱した「真理の固定点理論」が有力視されています。この理論では、嘘つきの文には真でも偽でもない第三の値（「未定義」）が割り当てられます。古典論理の二値性を放棄することで矛盾を回避する方法です。

これらの解決策はそれぞれ一定の有効性がありますが、完全にこの問題を消し去ったとは言い切れないというのが正直なところです。どの解決策にも代償があり、嘘つきのパラドックスはいまだ論理学と哲学の活発な研究テーマであり続けています。

3値論理でも逃げ切れない

先に触れた解決策のうち、真でも偽でもない第3の値を認める方針には、有名な弱点があります。

強化された嘘つき

次の文を考えてみます。

この文は真ではない。

「偽である」ではなく「真ではない」と書いたところが違いです。3値論理では、真でも偽でもない未定義という値が用意されています。

・この文が真なら、内容どおり真ではないことになり矛盾 ・この文が偽なら、真ではないので内容が正しく、真になって矛盾 ・この文が未定義なら、それも真ではないということなので内容が正しく、やはり真になって矛盾

第3の値を用意しても、その値もまとめて真ではないに含まれてしまうため、逃げ道になりません。

これは強化された嘘つき、あるいは復讐のパラドックスと呼ばれます。解決策を提示するたびに、その解決策を取り込んだ新しい文が作れてしまうという構図です。

主な解決策と、その限界

どの案も、その案を前提にした新しい嘘つき文を作られると苦しくなります。

嘘つきのパラドックスが2000年以上生き延びているのは、単に難しいからではありません。解決策そのものを材料にして再生産されるという性質を持っているためです。

日常の言葉にも顔を出す

厳密な論理の話に見えますが、似た構造は日常の言い回しにも紛れ込んでいます。

・「私の言うことを信じるな」：信じれば信じないことになり、信じなければ従っていない ・「例外のないルールはない」：この主張自体が例外のないルールなら自己矛盾する ・「絶対に断定してはいけない」：断定の形で断定を禁じている ・「すべては相対的である」：この主張だけは絶対的なのかという問いが残る

いずれも主張の範囲に自分自身が入っているかどうかで意味が変わります。

厳密には矛盾しない場合もあります。「例外のないルールはない」は、自分自身を例外として認めれば筋が通りますが、そのとき、主張の説得力はかなり削がれます。

議論の場でこの形の主張が出てきたときは、「その言い方は自分自身にも当てはまりますか」と確かめるだけで、話が整理されることが多いと思います。

自己言及の関連パラドックス

嘘つきのパラドックスと同じく自己言及が生む論理的矛盾を扱う関連パラドックスです。

まとめ

本記事は「嘘つきのパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。

たった一文で論理学の基盤を揺るがし、現代数学の不完全性定理やコンピュータ科学の停止問題にまでつながったこのパラドックスは、人類の知的遺産の中でも特にインパクトの大きいものと言えるでしょう。

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