当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「ラッセルのパラドックス」について解説します。
1901年、イギリスの哲学者・数学者バートランド・ラッセルは、当時数学の基盤とされていた集合論に致命的な矛盾が潜んでいることを発見しました。このパラドックスは数学の世界に激震を走らせ、数学の基礎を根本から作り直す必要に迫られるきっかけとなりました。
ラッセルのパラドックスとは
まず「集合」について簡単に説明します。集合とは、ものの集まりのことです。「果物の集合」にはりんごやバナナが含まれますし、「偶数の集合」には2、4、6…が含まれます。
さて、集合の中には「自分自身を要素として含む集合」と「自分自身を要素として含まない集合」があります。
例えば「すべての集合の集合」は、自分も集合なので自分自身を含みます。一方、「果物の集合」は果物ではないので、自分自身を含みません。
ここでラッセルは次のような集合を考えました。
R ＝ 「自分自身を要素として含まない集合」を全て集めた集合
果物の集合は自分自身を含まないのでRに入ります。偶数の集合も自分自身を含まないのでRに入ります。
さて、問題です。「R自身はRに含まれるのか？」
含まれる場合：RはRの要素です。ところがRの定義は「自分自身を含まない集合の集合」です。RがRに含まれるということは、Rは自分自身を含んでいます。すると、Rは「自分自身を含まない集合」ではないので、Rに含まれるべきではない。矛盾です。
含まれない場合：RはRの要素ではありません。RがRに含まれないということは、Rは自分自身を含んでいません。すると、Rは「自分自身を含まない集合」なので、Rの定義上、Rに含まれるべきです。矛盾です。
どちらの場合でも矛盾が生じてしまいます。
床屋のたとえ話
ラッセルのパラドックスを日常的な言葉で表現したものに、「床屋のパラドックス」があります。
ある村に一人の床屋がいて、「自分で自分の髭を剃らない人全員の髭を剃り、自分で自分の髭を剃る人の髭は剃らない」というルールで営業しています。
では、この床屋は自分の髭をどうするのか？
自分で剃るなら、ルール上この床屋は「自分で剃る人」なので、床屋は彼の髭を剃らない。つまり自分では剃れない。
自分で剃らないなら、ルール上この床屋は「自分で剃らない人」なので、床屋は彼の髭を剃る。つまり自分で剃ることになる。
どちらにしても矛盾します。このたとえ話はラッセルのパラドックスの構造を分かりやすく表現したものです。
数学への衝撃
ラッセルがこのパラドックスを発見した当時、ドイツの数学者ゴットロープ・フレーゲはまさに集合論に基づいて数学の基礎を厳密に構築しようとしていました。その大著『算術の基本法則』の第2巻がまさに出版される直前に、ラッセルからこの矛盾を指摘する手紙が届いたのです。
フレーゲはこの手紙を受けて「算術はがらがらと崩れ落ちた」と嘆いたと伝えられています。自身のライフワークの基盤に致命的な欠陥があることを突きつけられたのですから、その衝撃は想像に余りあります。
その後の解決
ラッセルのパラドックスを受けて、数学者たちは集合をどのように定義するかのルールを厳密に定め直す必要に迫られました。
その成果が1908年にツェルメロが発表し、後にフランケルが改良した「ZFC公理的集合論」です。ZFCでは、集合を自由に作ることを制限し、既存の集合から特定の条件を満たす要素を取り出す形でのみ新しい集合を作れるようにしました。
これにより、「自分自身を含まない集合の集合」のような危険な集合はそもそも構成できなくなり、パラドックスは回避されます。
現代の数学は基本的にこのZFC公理系の上に構築されており、ラッセルのパラドックスは直接的には発生しません。しかし、集合論そのものが無矛盾であることは証明されていない（ゲーデルの不完全性定理による）ため、完全に安心できるかと言うと、正直なところ微妙です。
自己言及の関連パラドックス
ラッセルのパラドックスと同じく自己言及が生む論理的矛盾を扱う関連パラドックスです。
まとめ
本記事は「ラッセルのパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。
たった一つの巧みな問いかけで数学の基盤を揺るがし、現代数学の基礎の再構築を促したこのパラドックスは、知的インパクトという点で間違いなくトップクラスです。
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