当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「ラッセルのパラドックス」について解説します。
1901年、イギリスの哲学者・数学者バートランド・ラッセルは、当時数学の基盤とされていた集合論に致命的な矛盾が潜んでいることを発見しました。このパラドックスは数学の世界に激震を走らせ、数学の基礎を根本から作り直す必要に迫られるきっかけとなりました。
ラッセルのパラドックスとは
まず「集合」について簡単に説明します。集合とは、ものの集まりのことです。「果物の集合」にはりんごやバナナが含まれますし、「偶数の集合」には2、4、6…が含まれます。
さて、集合の中には「自分自身を要素として含む集合」と「自分自身を要素として含まない集合」があります。
例えば「すべての集合の集合」は、自分も集合なので自分自身を含みますが、一方で、「果物の集合」は果物ではないので、自分自身を含みません。
ここでラッセルは次のような集合を考えました。
R ＝ 「自分自身を要素として含まない集合」を全て集めた集合
果物の集合は自分自身を含まないのでRに入ります。偶数の集合も自分自身を含まないのでRに入ります。
さて、問題です。「R自身はRに含まれるのか？」
含まれる場合：RはRの要素ですが、Rの定義は「自分自身を含まない集合の集合」です。RがRに含まれるということは、Rは自分自身を含んでいます。すると、Rは「自分自身を含まない集合」ではないので、Rに含まれるべきではない。矛盾です。
含まれない場合：RはRの要素ではありません。RがRに含まれないということは、Rは自分自身を含んでいません。すると、Rは「自分自身を含まない集合」なので、Rの定義上、Rに含まれるべきです。矛盾です。
どちらの場合でも矛盾が生じてしまいます。
床屋のたとえ話
ラッセルのパラドックスを日常的な言葉で表現したものに、「床屋のパラドックス」があります。
ある村に一人の床屋がいて、「自分で自分の髭を剃らない人全員の髭を剃り、自分で自分の髭を剃る人の髭は剃らない」というルールで営業しています。
では、この床屋は自分の髭をどうするのか？
自分で剃るなら、ルール上この床屋は「自分で剃る人」なので、床屋は彼の髭を剃らない。つまり自分では剃れない。
自分で剃らないなら、ルール上この床屋は「自分で剃らない人」なので、床屋は彼の髭を剃る。つまり自分で剃ることになる。
どちらにしても矛盾します。このたとえ話はラッセルのパラドックスの構造を分かりやすく表現したものです。
数学への衝撃
ラッセルがこのパラドックスを発見した当時、ドイツの数学者ゴットロープ・フレーゲはまさに集合論に基づいて数学の基礎を厳密に構築しようとしていました。その大著『算術の基本法則』の第2巻がまさに出版される直前に、ラッセルからこの矛盾を指摘する手紙が届いたのだと思います。
フレーゲはこの手紙を受けて「算術はがらがらと崩れ落ちた」と嘆いたと伝えられています。自身のライフワークの基盤に致命的な欠陥があることを突きつけられたのですから、その衝撃は想像に余りあります。
その後の解決
ラッセルのパラドックスを受けて、数学者たちは集合をどのように定義するかのルールを厳密に定め直す必要に迫られました。
その成果が1908年にツェルメロが発表し、後にフランケルが改良した「ZFC公理的集合論」です。ZFCでは、集合を自由に作ることを制限し、既存の集合から特定の条件を満たす要素を取り出す形でのみ新しい集合を作れるようにしました。
これにより、「自分自身を含まない集合の集合」のような危険な集合はそもそも構成できなくなり、パラドックスは回避されます。
現代の数学は基本的にこのZFC公理系の上に構築されており、ラッセルのパラドックスは直接的には発生しませんが、集合論そのものが無矛盾であることは証明されていない（ゲーデルの不完全性定理による）ため、完全に安心できるかと言うと、正直なところ微妙です。
フレーゲに届いた1通の手紙
このパラドックスが数学史に刻まれた背景には、有名なエピソードがあります。
1902年6月16日、29歳のラッセルはドイツの論理学者ゴットロープ・フレーゲに手紙を書きました。フレーゲは当時、算術を論理学だけから導き出すという壮大な計画を進めており、その集大成である『算術の基本法則』第2巻が印刷所に入っていた時期でした。
手紙の内容は、フレーゲの体系から矛盾が導けるという指摘です。
フレーゲの返信は、数学史でもっとも痛切な文章のひとつとして知られています。「あなたの発見した矛盾は、私にとって最大の驚きであり、ほとんど狼狽と言ってよいものでした。それは私が算術を築こうとしていた土台を揺るがすものだからです」という趣旨の言葉が残されています。
フレーゲは第2巻の巻末に補遺を加え、自らの体系に欠陥があることを認めました。生涯をかけた仕事が、出版直前に崩れたことになります。
その後フレーゲは論理主義の計画を事実上断念し、晩年は幾何学に基礎を求める方向へ移りました。
指摘した側も無傷ではなかった
一方のラッセルも、指摘して終わりにはしませんでした。矛盾を回避する体系を自分で作る作業に取りかかります。
その成果が、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとの共著『プリンキピア・マテマティカ』です。1910年から1913年にかけて3巻で刊行されました。
有名なのは、1足す1が2になることを証明するのに第1巻の300ページ以上を要したという逸話です。当たり前に見えることを、一切の飛躍なく積み上げるとどうなるかを示した記念碑的な仕事になっています。
2つの解決策が辿った別々の道
矛盾を避ける方針は、大きく2つに分かれました。
| 方針 | 提唱と年 | 制限の内容 | 現在の位置づけ |
|---|---|---|---|
| 型理論 | ラッセル、1908年 | 対象に階層を与え、同じ階層への言及を禁じる | 数学の基礎としては傍流 |
| 公理的集合論 | ツェルメロ、1908年 | 既存の集合からしか新しい集合を作れない | 現代数学の標準（ZFC） |
数学の世界ではZFCが標準になりましたが、型理論はまったく別の場所で生き延びました。
プログラミング言語の型システムがそれです。値に型を割り当て、型の合わない操作を禁じるという仕組みは、ラッセルの階層とほぼ同じ発想でできています。
・型検査：整数と文字列を足そうとするとコンパイルが通らない ・依存型：型そのものが値に依存する高度な型システム ・定理証明支援系：CoqやLeanは型理論を土台に、数学の証明を機械で検証する
100年前に矛盾を防ぐために考えられた仕組みが、いまはプログラムの誤りを防ぐために使われているという話になります。用途は変わりましたが、うっかり自分自身に言及して破綻するのを型で止めるという役割は変わっていません。
素朴集合論のどこが甘かったのか
矛盾の原因を、もう一段だけ掘り下げておきます。
当時の集合論には、内包公理と呼ばれる前提がありました。「条件を書けば、その条件を満たすもの全体の集合が存在する」というものではないでしょうか。
一見すると当たり前に思えます。「偶数である」という条件を書けば偶数の集合ができる。「赤い」と書けば赤いもの全体の集合ができる。日常的な感覚にも合っています。
ところがラッセルは、この公理に「自分自身を含まない」という条件を入れました。条件としては何も特別ではないのに、対応する集合を作った瞬間に矛盾が生じます。
問題は条件の中身ではなく、どんな条件でも集合が作れるという約束そのものにありました。
ZFCが採用した分出公理は、この約束を弱めています。すでに存在する集合Aがあるとき、その中から条件を満たす要素を取り出した部分だけを新しい集合として認める、という形です。
何もないところから条件だけで集合を呼び出すことはできません。この制限のおかげで、問題の集合は最初から構成できなくなります。
自己言及の関連パラドックス
ラッセルのパラドックスと同じく自己言及が生む論理的矛盾を扱う関連パラドックスです。
まとめ
本記事は「ラッセルのパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。
たった一つの巧みな問いかけで数学の基盤を揺るがし、現代数学の基礎の再構築を促したこのパラドックスは、知的インパクトという点で間違いなくトップクラスです。
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それでは次の記事も閲覧いただけると幸いです。
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