当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「ベルトランのパラドックス」について解説します。
「ランダムに選ぶ」という言葉は日常的によく使いますが、実はこの言葉の意味は一通りではありません。同じ問題で「ランダム」の定義を変えるだけで、答えが1/3にも1/2にも1/4にもなるのです。
問題の設定
1889年にフランスの数学者ジョゼフ・ベルトランが提唱した問題です。
円があり、その中に正三角形が内接しています。ここで円に「ランダムに弦を1本引く」とき、その弦が正三角形の一辺より長い確率はいくつでしょうか？
直感的には答えは一つに決まりそうですが、「ランダムに弦を引く」方法を3通り考えると、答えがそれぞれ異なります。
方法1：端点をランダムに選ぶ（答え：1/3）
円周上の1点を固定し、もう1点を円周上からランダムに選んで弦を引きます。
正三角形の頂点を固定点にすると、弦が正三角形の辺より長くなるのは、もう一方の端点が固定点の対辺にあたる弧（円周の1/3の部分）にあるときだけです。
したがって確率は1/3です。
方法2：中点の位置をランダムに選ぶ（答え：1/2）
弦の中点を半径上のランダムな位置に取る方法です。
弦が正三角形の辺より長くなるのは、弦の中点が円の中心から半径の1/2以内にあるときです。半径上で均等にランダムに選ぶと、この条件を満たす確率は1/2です。
方法3：中点を円内でランダムに選ぶ（答え：1/4）
弦の中点を円の内部でランダムに選ぶ方法です。
弦が正三角形の辺より長くなるのは、中点が円の中心を中心とした半径1/2の小さな円の内部にあるときです。小さな円の面積は大きな円の面積の1/4なので、確率は1/4です。
同じ問題なのに答えが違う
3つの方法はどれも「円にランダムに弦を引く」という同じ問題に対する解法です。しかし、答えはそれぞれ1/3、1/2、1/4と異なります。
どの方法も、それ自体は正しい計算をしています。問題は、「ランダムに弦を引く」という操作の定義が一意でないことにあります。
「端点をランダムに選ぶ」「半径上の位置をランダムに選ぶ」「面積上の位置をランダムに選ぶ」は、それぞれ異なる確率分布を定義しており、当然ながら異なる答えを生みます。
正解はあるのか
ベルトランのパラドックスには「正解がない」というのが一般的な見解ですが、もう少し掘り下げた議論もあります。
数学者E.T.ジェインズは1973年に、物理的な対称性の要請から「正しい」確率分布を特定できると主張しました。彼の議論では、弦を選ぶ方法が以下の2つの条件を満たすべきだとします。
- 「回転不変性」：円を回転しても確率が変わらない
- 「スケール不変性」：円の大きさを変えても確率が変わらない
- 「並進不変性」：円の位置を動かしても確率が変わらない
これらの条件を全て満たす弦の選び方は方法3（中点を円内で均等に選ぶ）に対応し、答えは1/4になるとジェインズは論じました。実際に、針を落とす物理実験でもこの結果に近い値が得られたと報告されています。
ただし、この「解決」は問題に追加の物理的条件を課すことで成り立っており、純粋に数学的には問題が不確定であること自体は変わりません。
このパラドックスの意義
ベルトランのパラドックスが教えてくれるのは、確率の問題では「ランダム」の定義を明確にしなければ、問題自体が不完全であるということです。
日常生活で「ランダムに選ぶ」と言ったとき、私たちは暗黙のうちに何らかの確率分布を想定しています。しかし、その暗黙の想定は人によって異なる場合があり、それが原因で同じ問題に対して異なる答えが出てしまうのです。
現代の統計学やデータサイエンスでは、この教訓は極めて重要です。「ユーザーをランダムにサンプリングする」と言ったとき、アクティブユーザーから選ぶのか、登録ユーザー全体から選ぶのか、訪問回数に比例して選ぶのかで結果は大きく変わります。ベルトランのパラドックスは、「何をランダムにするの���」を曖昧にしたままでは結果の解釈を誤ることを、150年前に示していたのです。
まとめ
本記事は「ベルトランのパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。
「ランダム」は決して自明な概念ではないということを、このパラドックスは鮮やかに示しています。確率を正しく扱うためには、前提条件を厳密に定義することが不可欠なのです。
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