当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「投票のパラドックス（コンドルセのパラドックス）」について解説します。
多数決は最も公平な意思決定方法——そう思っている人は多いのではないでしょうか。しかし、3つ以上の選択肢がある場合、多数決は民意を正しく反映しないことがあります。しかもそれは例外的なケースではなく、かなり頻繁に起きうるのです。
パラドックスの内容
18世紀フランスの数学者コンドルセが発見した問題です。
3人の投票者と3つの候補者A、B、Cがいるとします。各投票者の選好は以下の通りです。
- 投票者1：A > B > C（Aが一番、次にB、最後にC）
- 投票者2：B > C > A
- 投票者3：C > A > B
AとBの一騎打ちでは、AをBより好む人が2人（投票者1と3）でAが勝ちます。 BとCの一騎打ちでは、BをCより好む人が2人（投票者1と2）でBが勝ちます。 CとAの一騎打ちでは、CをAより好む人が2人（投票者2と3）でCが勝ちます。
A > B > C > A … と循環してしまい、多数決では勝者が決まりません。
なぜ問題なのか
このパラドックスが示しているのは、集団の選好は個人の選好のように合理的な順序を持つとは限らないということです。
個人の選好では「AがBより好きで、BがCより好きなら、AがCより好き」（推移律）が成り立ちます。しかし、多数決で集計した集団の選好ではこの推移律が崩れてしまうのです。
これは多数決という方法の欠陥であり、投票の順序やマッチアップの組み合わせを操作することで結果を変えることができます。議長が投票にかける順序を決められるとすれば、「どの候補を最初に対決させるか」で結果をコントロールできてしまうのです。これを「議題操作（agenda manipulation）」と呼びます。
コンドルセ自身はフランス革命期に活躍した人物で、この発見をもとに「コンドルセ方式」——全ての一対一対決で勝つ候補（コンドルセ勝者）がいればそれを選ぶ方式——を提案しました。しかし上記のように循環が起きるとコンドルセ勝者が存在しないため、この方式だけでは完全ではありません。
アローの不可能性定理
コンドルセのパラドックスをさらに一般化したのが、1951年にケネス・アローが証明した不可能性定理です。
アローは、3つ以上の選択肢がある場合、以下の全てを同時に満たす投票制度は「独裁制以外に存在しない」ことを証明しました。
- 全員がAをBより好むなら、結果もAがBより上位になる（全会一致条件）
- AとBの順位は、AとB以外の候補に対する選好に左右されない（無関係な選択肢からの独立性）
- 特定の1人の選好だけで結果が決まることはない（非独裁制）
つまり、完全に公平な投票制度は数学的に不可能だということです。アローはこの業績で1972年にノーベル経済学賞を受賞しています。
なお、選択肢が2つだけの場合はこの問題は生じません。多数決は2択の場合に限り完全に公平な制度です。問題が生じるのは3つ以上の選択肢が存在する場合に限ります。
現実の選挙への影響
現実の選挙でも、投票方法によって結果が変わることは珍しくありません。
小選挙区制では、票が割れることで「最も人気のない候補が当選する」ことがあります。例えば、似たような政策の候補者AとBが票を食い合い、少数派の候補者Cが当選するケースです。
比例代表制、決選投票制、ランク付け投票制など、様々な選挙制度が考案されていますが、アローの定理に従えば、どの制度にも何らかの欠点があることは避けられません。
2000年のアメリカ大統領選挙は現実の好例です。フロリダ州でジョージ・W・ブッシュがアル・ゴアを537票差で破りましたが、第三候補のラルフ・ネーダーが約97,000票を得ていました。ネーダー支持者の多くがゴア寄りだったと考えられ、ネーダーがいなければゴアが勝っていた可能性が高いのです。「無関係な選択肢（ネーダー）」がAとBの結果を変えてしまう——アローの定理が警告していた事態そのものです。
集団意思決定の関連パラドックス
投票のパラドックスと同じく集団が合理的な決定を下せない問題を扱う関連パラドックスです。
まとめ
本記事は「投票のパラドックス」について解説しました。如何だったでしょうか。
多数決が常に正しい結果を出すとは限らないという事実は、民主主義の仕組みについて深く考えるきっかけを与えてくれます。完全な投票制度は存在しないからこそ、その限界を理解したうえで制度を運用していくことが大切なのかもしれません。
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