【世界のパラドックス】エーレンフェストのパラドックス ─ 回る円盤の円周率が π でなくなる

当サイトを閲覧いただきありがとうございます。本記事は「エーレンフェストのパラドックス」について解説します。

円盤を光速に近い速さで回転させると、外周は進行方向に縮みますが、半径は回転方向と直角なので縮みません。すると円周を直径で割った値が円周率πより小さくなってしまいます。硬いはずの円盤の形が保てないというこの問題は、アインシュタインを一般相対性理論へと押し出す重要な足がかりになりました。

回る円盤で起きること

まず、静止している円盤を考えます。半径をR、円周を2πRとします。ごく普通の円です。

この円盤を、外周部分の速度が光速に近づくほど高速で回転させます。ここで2つの部分に分けて考えます。

外周にある小さな一片は、円の接線方向へ猛烈な速さで動いています。動く物体は進行方向に縮むので、この一片は短くなります。外周を一周ぶん足し合わせると、円周は2πRより短く測られることになります。

一方、半径に沿った方向はどうでしょうか。回転の向きは常に円の接線方向なので、半径は運動方向と直角です。運動方向と直角な向きには収縮が起きません。つまり半径はRのままです。

まとめると、半径はRのままで円周だけが短くなります。円周を直径2Rで割ると、πより小さい値になってしまいます。

ここが矛盾になります。

円盤が硬い物体であれば、回転させても形は変わらないはずですが、円周だけが縮んで半径が縮まないのなら、その円盤はもはや平らな円ではありません。

イメージとしては、外周だけを絞られた布のような状態です。実際の材料であれば、外周の材料が足りなくなって引きちぎられるか、皿のように歪むことになります。

この問題を1909年に提示したのが、オーストリアの物理学者パウル・エーレンフェストでした。特殊相対性理論が発表されてまだ4年しか経っていない時期です。

現代の理解では、答えの半分は「そもそも硬い円盤など存在しない」というものではないでしょうか。

相対性理論では、完全に硬い物体を考えることができません。力の伝わる速さも光速を超えられないので、押した瞬間に全体が動くような物体はありえないからです。ベルの宇宙船のパラドックスで糸が切れたのと、根は同じ話になります。

さらに厳密な結果もあります。1910年前後にヘルグロッツとネターが示した定理によれば、静止状態から形を保ったまま円盤を回転させ始めることは原理的にできません。

止まっている円盤を回そうとすれば、必ずどこかに応力がかかり、材料は伸びるか縮むかします。矛盾するのは相対性理論ではなく、「硬い円盤を回す」という設定の方だったということですね。

答えのもう半分は、もっと深いところにあります。

円盤と一緒に回転している観測者が、自分の足元の空間を測ったとします。円周に沿ってものさしを並べていくと、静止した人が数えるより多くの本数が必要になります。

なので、回転する立場から見た空間では、円周を半径で割った値が2πより大きくなります。これは平らな空間では起こりえないことです。

学校で習うユークリッド幾何学は、平らな空間を前提にしています。ところが回転しているというだけで、その前提が崩れてしまう。「加速している立場から見ると、空間そのものが曲がって見える」という事実が、ここに現れています。

長さの話をしてきましたが、時間の側にも同じくらい面白いことが起きます。

円盤の上の各点は、中心から離れるほど速く動いています。速く動く時計は遅れるので、円盤の中心に置いた時計と外周に置いた時計では、進み方が変わります。

しかも遅れ方は場所ごとに違い、半径に応じて連続的に変化します。円盤全体で共通の時刻を決めようとしても、うまくいきません。

回転する系では「同時とは何か」すら一意に決められない。この事情が、エーレンフェストの問題を今も議論が続く難所にしている一因になっています。

回転が時間に及ぼす影響は、実際に測定できます。

円形の経路に沿って、光を右回りと左回りの両方に送り出します。装置が静止していれば両者は同時に一周して戻ってきますが、装置が回転していると到達時刻にずれが生じます。回転方向に進む光の方が、追いかける距離が長くなるためです。

1913年にジョルジュ・サニャックが確認したこの現象は、いまでは実用品になっています。

回転部品を持たないため摩耗せず、応答も速いという利点があります。回る円盤という思考実験の題材が、いまや旅客機の姿勢を保つ装置として飛んでいるのだと思います。

GPSの計算にサニャック補正が必要なのも同じ理由で、地球の自転を無視すると測位が数十メートル単位でずれます。100年以上前の議論が、日々の位置情報の精度を支えていることになります。