当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「ヒルベルトの無限ホテル」のパラドックスについて解説します。
想像してみてください。部屋が無限にあるホテルがあり、しかも全ての部屋が埋まっている。普通に考えれば「満室」なのだから新しいお客さんは泊まれません。ところが、ちょっとした工夫で何人でも泊められてしまうのです。
無限ホテルの設定
ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが1920年代に考案したこの思考実験は、こういう設定です。
部屋番号が1、2、3、4…と無限に続くホテルがあります。各部屋に一人ずつ客が泊まっており、全室満室です。
そこに新しい客が1人やって来ます。フロントで「すみません、空室はありますか？」と尋ねます。
通常のホテルなら「申し訳ございません、満室です」で終わりですが、無限ホテルの支配人は違います。
新しい客を1人泊める方法
支配人は全ての宿泊客に館内放送をします。
「お客様にお願いがあります。現在お泊まりの部屋番号に1を足した番号の部屋に移動してください」
すると、1号室の客は2号室に、2号室の客は3号室に、3号室の客は4号室に…と全員が一つ隣の部屋に移ります。部屋は無限にあるので、「最後の部屋がない」ため、全員が問題なく移動できます。
その結果、1号室が空きます。新しい客はここに入れます。
満室だったのに、全員移動しただけで空室ができてしまった。有限のホテルでは絶対にできないことが、無限のホテルでは可能になるのです。
無限人の客を泊める方法
次はもっと凄い話です。無限人の新しい客が一度にやって来たらどうなるでしょうか。
支配人は今度は別の放送をします。
「お客様にお願いがあります。現在の部屋番号を2倍にした番号の部屋に移動してください」
1号室の客は2号室に、2号室の客は4号室に、3号室の客は6号室に、4号室の客は8号室に…と移動します。
すると、元の宿泊客は全員が偶数番号の部屋に入ります。奇数番号の部屋（1、3、5、7…）が全て空きます。奇数は無限にありますから、無限人の新しい客を全員泊めることができます。
満室のホテルに無限人を追加で泊められる——これが無限の持つ恐ろしいほどの柔軟性です。
泊められない客も存在する
では、無限ホテルにはどんな数の客でも泊められるのでしょうか。実はそうではありません。
カンターの対角線論法によると、「実数の数」は「自然数の数」よりも真に大きいことが証明されています。
もし「実数と同じ数」の客がやって来たら、無限ホテルの部屋は自然数で番号付けされているため、全員を泊めることは不可能です。
つまり、「無限」にもレベルがあり、無限ホテルが対応できる無限と対応できない無限があるのです。ここに無限の奥深さがあります。
無限が直感に反する理由
ヒルベルトの無限ホテルが私たちの直感に反するのは、私たちが「満室＝これ以上入れない」という有限の世界の常識を持っているからです。
有限の集合では、部分は必ず全体より小さくなります。10個の部屋があるホテルから5部屋を取り出せば、残りは5部屋です。
しかし、無限の集合では部分が全体と同じ大きさになりえます。偶数全体の数は自然数全体の数と同じです。これが有限の世界の常識と決定的に異なるポイントであり、無限ホテルのパラドックスの根幹です。
数学的無限の関連パラドックス
ヒルベルトの無限ホテルと同じく無限集合の直感に反する性質を扱う関連パラドックスです。
まとめ
本記事は「ヒルベルトの無限ホテル」について解説しました。如何だったでしょうか。
満室なのに何人でも泊められるという結論は衝撃的ですが、これは「無限」という概念が私たちの日常的な直感とは根本的に異なるルールで動いていることを教えてくれます。無限の世界には、有限の常識は通用しないのです。
パラドックスの一覧に戻りたい方は以下のリンクからどうぞ。
それでは次の記事も閲覧いただけると幸いです。
