当サイトを閲覧いただきありがとうございます。 本記事は「クワス算」について解説します。
68 ＋ 57 はいくつでしょうか。125です。誰でもそう答えます。
ところが、ここに奇妙な懐疑論者が現れて、こう言います。あなたが今まで「＋」という記号で意味していたのは、足し算ではなくクワスという別の関数だった。だから正しい答えは5だ。
ばかげた主張に聞こえます。しかし、この懐疑論者を退けようとすると、驚くほど手こずります。「私が過去に足し算を意味していた」という事実が、どこにも見つからないからです。
ソール・クリプキが1982年に提示したこの議論は（ウィトゲンシュタインの解釈という形をとっています）、言語哲学でもっとも厄介な難問の一つとして扱われています。
クワスという関数
まず、懐疑論者が持ち出す関数を定義します。クワス（quus）と呼ばれるものです。
x クワス y ＝ x ＋ y （x と y がどちらも57より小さいとき） x クワス y ＝ 5 （それ以外のとき）
57という数に意味はありません。「あなたがこれまで実際に計算したことのある数の範囲」を表す代表として置かれているだけです。
ここが議論の急所になります。私が生涯に行った計算は、有限個です。どれだけ多くても、扱った数には上限があります。
そして、その上限より下の範囲では、足し算とクワスはまったく同じ答えを出します。過去の私の計算結果は、一つ残らず、どちらの関数とも整合しているわけです。
何が決めているのか
そこで懐疑論者は問います。あなたが「＋」で意味していたのが足し算のほうだと、いったい何が決めているのですか。
過去の使用例では決まりません。有限個の例は、無限に多くの関数と両立します。57以上を含む計算を、私は一度もしていないのですから、どちらだったかを区別する証拠がありません。
注意すべきは、この議論が「足し算が実は間違っている」と言っているのではないことです。問題にされているのは、過去の私の心の中に、意味を確定させる事実があったのかという一点です。
反論が次々に破られる
自然に思いつく反論は、どれも封じられてしまいます。順に並べてみます。
規則を思い浮かべていた。私は計算のたびに、頭の中で足し算の規則を思い浮かべていた、と答えたくなります。しかし、その規則をどう適用するかも、また解釈を要します。頭に浮かんだ言葉や図が、どちらの関数を指していたのかを決めるには、さらに別の規則が必要になり、際限がありません。
そういう傾向を持っていた。私は、もし57以上の数を尋ねられていたら、足し算の答えを返す傾向を持っていた、という応答もあります。これには二つの問題があります。
一つは、傾向は実際にどうするかを述べるだけで、どうすべきかを含まないことです。もし私が計算を間違える傾向を持っていたら、その間違いのほうが正しい意味だったことになってしまいます。意味には、正しさの基準という規範的な性格があります。傾向はそれを説明できません。
もう一つは、私の能力が有限だということです。桁が極端に大きい数について、私はそもそも答えを出せません。傾向が存在しない領域では、意味も定まらないことになってしまいます。
単純なほうが正しい。足し算のほうが単純だから、そちらを意味していたはずだ、という応答もあります。しかし何を単純と見るかも、どの規則で見るかに依存します。クワスを基本と考える体系から見れば、足し算のほうが例外的に見えるかもしれません。
クリプキの「懐疑的解決」
こうして、個人の内側には意味を確定する事実が見つかりません。クリプキはこの結論を受け入れたうえで、別の方向へ話を進めます。
彼が提案したのは「懐疑的解決」と呼ばれるものです。意味を確定させる事実は存在しない。しかし、私たちが意味について語ることには、依然として正当な役割があるという立場です。
鍵になるのは共同体です。ある人が「彼は足し算を意味している」と言えるのは、その人の答え方が、共同体の他の人々の答え方と一致しているからです。一致していれば仲間として扱われ、外れていれば訂正されます。
つまり、正しさの基準は個人の頭の中にではなく、実践の一致の中にあるということになります。この結論は、私的な言語は成り立たないというウィトゲンシュタインの議論と直結します。
なお、この読み方がウィトゲンシュタイン本人の意図と一致しているかについては、強い批判があります。クリプキ独自の議論として扱うべきだという意見も根強く、両者を区別して呼ぶ言い方まで生まれました。
有限の例から、無限を決められるか
私は、この議論のいちばん普遍的な部分は有限の例から無限の規則を一意に決められないという指摘だと考えています。
同じ構造は、他の場面にも現れます。
- グルーのパラドックス。これまで観察されたエメラルドはすべて緑だった。しかし「ある時点までは緑、以後は青」という性質とも、これまでの観察はすべて整合します。
- 機械の学習。有限のデータに合う関数は無数にあります。どれを選ぶかは、データ自体からは決まりません。あらかじめ組み込まれた偏りが選んでいます。
どの場合も、証拠だけでは規則が絞り込めず、証拠の外側にある何かが選択を担っています。クワス算が示したのは、その何かが個人の内側には見つからないという事態でした。
クワス算をめぐる疑問
これは足し算を疑う議論なのですか
いいえ。68 ＋ 57 が125であることを、クリプキは一度も疑っていません。彼が問題にしたのは、私が過去にそれを意味していたと言える根拠のほうです。
この区別が付かないと、議論全体が屁理屈に見えてしまいます。計算の正しさではなく、意味を確定させる事実の所在が主題だ、と押さえておくと読み違えません。
数学の証明があるではないですか、と言いたくなります
証明も記号の並びなので、同じ問いが繰り返されます。その証明の中の記号を、私が何の意味で使っていたのかを確定させるには、また別の事実が要ります。
これが、この懐疑論の厄介なところです。意味を説明するために持ち出したものが、そのつど同じ疑いにさらされます。どこかで、説明の連鎖を止める場所を用意しなければなりません。クリプキはそれを共同体の実践に置きました。
日常で使える視点はありますか
「これまでうまくいってきた」ことが、規則を特定した証拠にはならないという点だと思います。
これまでの実績が同じでも、まだ試していない領域での振る舞いは違いうる。実績の範囲を超えたところで、何が起きるかは実績からは言えません。過去のデータに合うからといって将来も合うとは限らない、というのは統計や機械学習の基本的な注意ですが、その根っこにあるのがこの議論です。
関連する思考実験・パラドックス
有限の証拠から規則を決められるのか、という問題を扱った記事です。
まとめ
本記事は「クワス算」について解説しました。如何だったでしょうか。
過去に扱った数がすべて有限である以上、私の使用例は足し算ともクワスとも整合してしまう。そして、どちらを意味していたかを決める事実が、私の内側のどこにも見つからない。この結論に至る道筋は、反論を一つずつ潰していく形で、驚くほど丁寧に組み立てられています。
クリプキの答えは、意味を個人の内側から取り上げ、実践の一致のほうへ移すというものでした。納得できるかどうかは分かれるところですが、有限の実績から無限の規則は決まらないという指摘そのものは、哲学の外でも効いてくると思います。
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