【未解決問題】3体問題 ─ 天体が3つになった瞬間、宇宙は予測不能になる

当サイトを閲覧いただきありがとうございます。本記事は天体力学の伝説的難問「3体問題」について解説します。

太陽と地球、2つの天体だけなら、軌道は完璧に計算できます。ニュートンが350年前に解き切っており、答えはきれいな楕円です。ではそこに月をもう1つ加えたら？　天体がたった3つになった瞬間、軌道を与える一般的な公式は存在しなくなり、運動は原理的に予測困難になり得ることが分かっています。SF小説の題名にもなったこの問題は、単に「難しくて解けない」のではありません。「解けないこと」自体が数学的に証明されてしまった、いわくつきの問題です。それでもなお、残されている謎があります。

100の思考実験Amazonで見る →

別冊Newton 思考の迷宮パラドックスAmazonで見る →

2体は完璧、3体は泥沼

3体問題とは、互いの重力だけで引き合う3つの天体が、どんな軌道を描くかを求める問題です。

出発点は華々しい成功でした。ニュートンは万有引力の法則から、2つの天体の運動を完全に解きました。太陽の周りの惑星は楕円を描き、その軌道は数式で永遠の未来まで書き下せます。ケプラーが観測から見抜いた法則が、計算で丸ごと再現できたのです。物理学史上、最も美しい勝利の一つだと思います。

当然、次は3つです。太陽と地球と月。ニュートン自身がこの計算に挑み、そして苦しみました。月の運動の問題については「頭が痛くなる唯一の問題だった」と語ったという逸話が残っているほどです。以後200年、オイラー、ラグランジュ、ヤコビといった大数学者が次々に挑みましたが、2体のときのような「軌道を与える万能の公式」には誰もたどり着けませんでした。見つかったのは、3天体が特別な配置を保って回り続ける例外的な解だけ。ラグランジュが見つけた正三角形配置の解は、後に木星の軌道上でトロヤ群小惑星として実物が発見され、現在は宇宙望遠鏡の駐機場（ラグランジュ点）として実用されています。

賞金論文の誤りから「カオス」が生まれた

決定的な転回点は1889年、スウェーデン国王オスカル2世が数学の難問に懸けた賞金コンクールでした。3体問題（正確にはn体問題）の解明に挑んだフランスのアンリ・ポアンカレが受賞論文を提出し、栄冠に輝きます。

ところがここで、科学史に残る事件が起きます。論文の印刷段階で、ポアンカレ自身が証明の重大な誤りに気づいたのです。彼は刷り上がった論文の回収と刷り直しの費用を自腹で負担しました。その額は賞金を上回ったと伝えられています。

しかし、この誤りの修正作業こそが歴史を変えました。誤りを直す過程でポアンカレが発見したのは、3体問題の軌道が初期条件のごくわずかな違いで、まったく別の運命をたどり得るという性質です。出発点の位置を髪の毛一本分ずらしただけで、百年後の軌道は似ても似つかなくなる。どれほど精密に観測しても誤差はゼロにできない以上、長期の軌道は原理的に予測できない。現在「カオス」と呼ばれるこの概念の発見です。この性質は半世紀後、気象学者ローレンツの計算機実験で再発見され、「ブラジルの蝶の羽ばたきはテキサスで竜巻を起こすか」という講演の題名からバタフライ効果の名で世界に広まりました。カオスの故郷は、天気ではなく3体問題だったのです。失敗した賞金論文が、20世紀のカオス理論という新大陸の発見報告になった。未解決問題が新しい数学を生む典型例として、これ以上の物語はなかなかありません。

なお「公式が存在しない」ことにも証明があります。1887年にブルンスが、従来の道具、すなわちエネルギーのように「運動の間ずっと変わらない量」を組み合わせて解の式を作る方法では、3体問題の解を書き下せないことを証明しました。つまり3体問題は「まだ解けていない」のではなく、2体問題と同じ意味では「解けないことが確定している」のです。

月の計算に人生を捧げた人々

3体問題の歴史は、抽象的な数学だけの話ではありません。「月の位置を正確に予報する」という、航海の死活問題として発展してきました。大海原で自分の位置を知るために、月の位置表は18世紀の最重要インフラだったのです。

その精度への執念は、常軌を逸したレベルに達します。フランスのドロネーは、月の運動を近似する数式を約20年かけて手計算で展開し、その結果だけで分厚い書物2巻を埋めました。式の1本が数百ページ続くという、人類の手計算の到達点の一つです。また18世紀には、月の軌道のゆがみの計算が観測の半分にしかならないという危機があり、「ニュートンの重力法則は間違っているのではないか」とまで疑われました（後に計算の近似の精度不足と判明し、法則は救われました）。

現代では、月や惑星の位置表はスーパーコンピュータの数値計算で作られており、月までの距離はレーザー測距でセンチメートル級の精度で監視されています。公式のない問題を、人類は手計算の執念と計算機の力で実用レベルにねじ伏せてきた。3体問題は、「解けない」と「使えない」がまったく別物であることの、200年がかりの実演でもあります。

それでも残る謎と、奇跡のような解たち

「解けないと証明済みなら、もう終わりでは？」と思うかもしれません。ところが3体問題の面白さは、ここから先にあります。

まず、例外的に美しい解の探索が現在も続いています。2000年には、3つの天体が互いを追いかけながら1本の8の字を描き続けるという驚くべき周期解の存在が厳密に証明されました。コンピュータ探索の発展で、近年は数百から千を超える新しい周期解の族が報告されており、「カオスの海に浮かぶ規則の島々」の地図作りが進んでいます。解けない問題の中に、これほど整った運動が無数に隠れていたという事実は、証明から100年経っても3体問題が汲み尽くされていないことを示しています。

そして最大の宿題が、「太陽系は安定なのか」という問いです。惑星が8個もある太陽系は多体問題そのものであり、カオスの支配下にあります。スーパーコンピュータによる長期シミュレーションでは、太陽系の軌道予測は数千万年を超えると事実上不可能になることが分かっています。さらに、今後数十億年の間に水星の軌道が不安定化して金星や太陽と衝突するシナリオが、小さいながらゼロでない確率で起こり得るという計算結果も報告されています。私たちの足元の安定は、証明された永遠ではなく、「当面は大丈夫らしい」という観測と計算の積み上げの上にあるわけです。

カオスと計算をめぐる疑問

公式がないのに、探査機の軌道はなぜ計算できるのですか？

数値計算で少しずつ未来を積み上げているからです。方程式自体は正確に分かっているので、短い時間刻みで「次の一瞬」を計算し、それを繰り返せば軌道は高精度で追えます。探査機の航行や日食の予報が可能なのはこのためです。カオスが牙をむくのは時間スケールが長くなったときで、数年単位の探査機運用では誤差の増幅が問題になる前に軌道修正できます。「公式がない」と「計算できない」は別物であり、ここを区別できると、この問題の解像度が一気に上がります。

SF小説『三体』の設定は現実にあり得るのですか？

3つの恒星の重力に翻弄される惑星というあの設定は、3体問題のカオス性を正面から使ったものです。現実にも三重星系は珍しくなく、恒星が3つ以上ある系では惑星の軌道が不安定になりやすいことは実際の研究テーマになっています。ただし現実の三重星系の多くは、「近い2つ＋遠い1つ」という階層的な配置に落ち着いており、この場合は実質的に2体問題の入れ子として近似できるため、小説ほど無法な環境ばかりではありません。むしろ「不安定な配置の系は長い年月で淘汰され、安定な配置だけが生き残る」という進化的な視点が、現実の宇宙の姿に近いようです。

ズントマンの「解」があると聞いたことがあります

鋭い指摘で、実は1912年にフィンランドのズントマンが、3体問題の解を無限級数（終わりなく続く足し算の式）の形で表すことに成功しています。数学的には「一般解が存在する」と言える結果です。ではなぜ解決扱いされないのか。この級数は収束が絶望的に遅く、実用的な精度を得るには天文学的な項数が必要で、軌道の性質を読み取る役にも立たないからです。「答えの式は書けたが、何も分からない」という、数学の世界でも指折りの皮肉な結果で、「解けるとはどういうことか」を考えさせられる好例だと思います。